OLGRA OPERADORES LAPLACIANOS EN GRAFOS Y REDES CON REPULSORES/ATRACTORES Y DINÁMICAS RELACIONADAS


El uso de grafos está ampliamente extendido como una herramienta matemática para el estudio de diversos sistemas. En Físicas estos son usados en modelos electrónicos de sistemas conjugados, en sistemas de spines, en física estadística, en modelos cuánticos, y otros. Más recientemente, la representación de sistemas complejos de gran escala mediante grafos ha alcanzado un enorme auge. Una característica común en todos estos sistemas es la existencia de procesos dinámicos que tienen lugar en los mismos. Las dinámicas difusivas y las dinámicas no lineales de sincronización son quizás las más comunes, permeando los sistemas físicos, químicos, biológicos, sociales e infraestructurales. Estas dinámicas han encontrado también un gran número de aplicaciones ingenieriles, como en la coordinación de robots autónomos y sensores inalámbricos, en sistemas de monitorización, entre otros muchos. En este proyecto proponemos el desarrollo de herramientas matemáticas que extienden y generalizan algunos de los paradigmas principales de las dinámicas clásicas en grafos y redes. En primer lugar proponemos el desarrollo y estudio de operadores Laplacianos en grafos que permiten dinámicas en las que los nodos del grafo pueden actuar como repulsores o atractores de la información que se propaga. Esto es, en una dinámica difusiva clásica en un grafo, la probabilidad de que la partícula difusiva salte a un vecino cercano desde su posición actual depende sólo de las características del nodo en que se encuentra y no de las de sus vecinos. Los nuevos operadores Laplacianos a ser estudiados en este proyecto modifican este paradigma y tienen en cuenta una capacidad repulsiva o atractiva de los vecinos a los que la partícula puede evolucionar. En adición, ellos tienen en cuanta la posibilidad de interacciones no-locales, de forma que la partícula puede también saltar a vecinos mas alejados de su posición actual. En particular, en este proyecto propondremos una modificación de la ecuación de difusión en la que la partícula difusiva es repelida por los nodos de mayor grado. La dinámica será controlada por el operador Laplaciano repulsivo (OLR). Similarmente propondremos una modificación del modelo de sincronización en redes en general y del modelo de Kuramoto en particular en el que el acoplamiento es mas fuerte con los vecinos de mayor grado. Estas dinámicas estarán controladas por el operador Laplaciano atractivo (OLA). Las propiedades algebraicas y espectrales del OLR y del OLA serán analizados con especial hincapié en aquellas que determinan la dinámica correspondiente. Usando ambos operadores Laplacianos generalizaremos el concepto de resistencia efectiva en redes resistivas. Finalmente propondremos generalizaciones de los OLR y OLA para incluir no-localidad. Dichos operadores no-locales permitirán las interacciones a larga distancia mediadas por las repulsiones/atracciones entre nodos de acuerdo a sus grados. Aunque el proyecto es de carácter teórico también explorará el uso de las herramientas desarrolladas en el estudio de sistemas reales tales como: (i) difusión en redes cerebrales, (ii) propagación de demoras de vuelos en sistemas de transporte aéreo, (iii) eficiencia de redes reales en procesos difusivos, (iv) sincronización de sistemas autónomos, y (v) comportamientos superdifusivos de átomos y moléculas adsorbidas en superficies metálicas o alineadas en redes fotónicas.

Researchers

  • Ernesto Estrada

    Ernesto Estrada


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