Xarxes Complexes

Definim una xarxa complexa com un conjunt de nodes i enllaços. Això sona difícil d'entendre, però no ho és tant. Per exemple, pot ser que hagis sentit parlar del concepte de xarxa social. Una xarxa social és una representació de les relacions entre les persones: cada individu és un node i dos nodes estan connectats per un enllaç si es coneixen entre si. Pensa en tu mateix i en els teus amics i familiars. Les teves relacions amb ells construeixen la teva pròpia xarxa social. Cadascun de vosaltres és un node de la xarxa i cada relació és un vincle.

La base de les xarxes complexes pot entendre's a partir d'aquest simple exemple. Ara, canvia les persones per pàgines web i les relacions per enllaços i ara la teva xarxa serà la World Wide Web d'Internet. Una xarxa similar pot construir-se a partir dels aeroports i els diferents vols que els connecten, o les neurones i les seves interaccions. Igual que els sistemes complexos, pots trobar xarxes complexes a tot arreu!

Podem classificar les xarxes complexes d'acord amb diferents aspectes com la mena de connexió entre els nodes. Els enllaços poden ser direccionals; una xarxa amb aquesta característica es diu direccional. Pensa en una xarxa tròfica on els nodes corresponen a les diferents espècies i els enllaços els connecten si són depredadors i preses. Però tingues en compte que es tracta d'una relació direccional, per exemple, un conill menja herba, però no ocorre el contrari. Ho representem amb una fletxa que apunta de la planta a l'animal. D'altra banda, en una xarxa no direccional la relació entre els nodes es manté en totes dues direccions. És el cas d'una xarxa d'actors i actrius amb un enllaç que els connecta si treballen junts en una pel·lícula.

Les xarxes complexes poden ser caracteritzades i estudiades usant alguns conceptes bàsics. El més important és probablement la distribució de graus. Aquest és només l'indicador del nombre d'enllaços de cada node, és a dir, el seu grau. És el que fa que un node es destaqui sobre els altres. Com més gran sigui el grau, major serà la seva capacitat de produir canvis en tota la xarxa.

Un altre concepte clau és la longitud de la ruta entre nodes. Es defineix com el nombre d'enllaços que hi ha entre ells. Hi ha alguns conceptes relacionats amb aquest com la longitud de camí més curta, que és el nombre mínim d'enllaços que connecten dos nodes. A més, podem fer-ho una mitjana de en tota la xarxa per a obtenir la longitud de camí característica.

Com a exemple d'una xarxa complexa, pots veure la imatge de baix.

La imatge és una representació d'una xarxa social fictícia molt petita. Si li dónes un cop d'ull ràpid, t'adonaràs que Lily és la que té un major nombre d'amics (enllaços). Quatre per a ser exactes. Això és el mateix que dir que ella té grau 4. Per tant, ella és la que té més poder per a influir en la resta del grup. Ella té una relació d'amistat amb tots menys amb Albert. Encara que no es coneixen, només hi ha dos vincles que els separen perquè tenen a Juan (i a Carly) com a amic mutu. Això implica que el camí més curt entre ells és 2.

Amb aquests conceptes, podem estudiar diferents esdeveniments que ocorren en la xarxa. Per exemple, podem determinar quant temps trigarà un rumor a difondre's i arribar a tots els nodes de la xarxa. Entre altres coses, dependrà de quantes connexions tingui l'individu que inicia el rumor. En lloc d'això, imagina que la xarxa està afectada per una malaltia. Llavors, la distribució de les connexions és crucial per a determinar la propagació de la malaltia i també per a intentar evitar que es converteixi en una pandèmia.

Hi ha moltes més definicions per a descriure xarxes complexes, però creiem que això és suficient per a una introducció al tema.

Antecedents històrics:

Els matemàtics usen el terme graf en lloc de xarxa. Tot va començar amb els Set Ponts de Königsberg (Kaliningrad). Aquesta ciutat està dividida pel riu Pregel de tal manera que hi ha quatre regions connectades per un total de set ponts. L'objectiu del problema era trobar un passeig per la ciutat que creués cadascun dels ponts una sola vegada.

Pots intentar resoldre el problema, però no li dediquis massa temps... Euler va demostrar que no té solució i la seva tècnica es considera el punt de partida de la Teoria de Grafs.

Coneixements adicionals:

En el següent vídeo, et vam mostrar una simulació per ordinador d'una xarxa complexa. Inicialment, només hi ha tres nodes i, a mesura que passa el temps, es van afegint més nodes, connectant cadascun d'ells a dos dels nodes ja presents. El concepte de "connexió preferent" és que els nous nodes es connectaran als que tinguin un major nombre d'enllaços. Això dóna lloc a una xarxa Barabasi-Albert sense escala amb una distribució de graus que segueix una llei de potència.